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啊第六十八节：大自然没有无辜一般观念的思维引领作用2020-05-04 22:00·不学无数07boy人民教育出版社　章建跃在教师培训中我比较喜欢讨论一些数学教学的一般性问题例如：数学知识的体系的涵义是什么给出数学定义之前为什么总是要给一些具体实例为什么要对数学对象进行分类分类的标准从哪里来什么叫性质如何才能更好地让学生学会发现性质等等遗憾的是许多老师的回应是：我的任务是要让学生更好地掌握书本上的知识你说的这些‘为什么’是数学家的事是教材编写者的事那么怎样才算‘掌握’了呢老师的回答是：学生会解题这些‘为什么’与学生掌握知识没有关系吗老师说：从来没有考虑过原来如此难怪学生的数学学习费时费力而效果不佳这种不问为什么的教学把原本最讲道理的数学搞成了不讲理的学问使原本最容易学的学科变成了最令人惧怕、生厌的学科那么到底如何在数学教学中讲这个理呢我认为关键是要有一般观念的引领首先数学教材的体系结构遵循了一定之规一般按背景（实际背景、数学背景）──定义（内含、表示）──分类（以要素为标准）──性质（要素、相关要素的相互关系）──特例（性质和判定）──联系（应用）的逻辑展开这个系统具有一般意义是科学研究的基本之道教师以此为基本依据设计课堂教学并让学生反复经历这个逻辑过程是讲理的关键之一其次有效的数学学习需要两个基本条件：一是好的学习素材二是有效的研究思路和方法为学生提供典型而丰富的学习素材让学生展开独立思考并在思考的方向和思想方法上作适当引导是讲理的又一关键关于学习素材我们已有多次讨论这里着重谈思路和方法的引导问题显然思路与已有知识经验相关但没有数学思想的知识经验只是一种僵化教条并不能用来发现新的东西这里的数学思想关键是具有普遍意义的一般观念例如平面图形中三角形是最简单的而圆是最完美的（主要表现在对称性上）于是平面几何中研究三角形、圆的基本性质有奠基作用得到三角形的性质是一方面更重要的是得到了研究几何图形的一个典范——对其他几何对象的研究都可以循着这样的思路展开同时还得到了一个工具因为我们往往利用三角形的性质去分析其他几何图形的性质三角形性质的研究思路和方法是：以它的要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题从形状、大小和位置关系等角度展开研究显然这是一般观念指导下的研究对于圆同样可以通过研究它的要素（圆心、半径或直径、弧、弦、圆心角、圆周角）之间的相互联系而获得它的性质如果用解析几何的方法对圆和三角形进行研究那么我们就可以得到三角函数的基本性质和三角定律（边角之间稳定的联系）这里的一般观念是：正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动密切配合的周期函数……而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反应于是单位圆上以A(1,0)为起点作逆时针方向的单位速率运动的动点其xy坐标是时间t的函数就是余弦函数cost和正弦函数sint自然地它们的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述这里圆的几何性质是学生熟知的但把它与正弦、余弦函数联系起来得到关于三角函数性质的研究思路则是以它们的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述为向导的数学教学的根本任务是发展学生的思维能力说到底就是要使学生在面对问题时总能想到办法注重一般观念的思维引领作用可以提高思维的系统性、结构性有效克服做得到但想不到的尴尬使数学的发现更具必然性是实